Aire maximale

Irwan souhaite installer le long du mur entourant son jardin un enclos rectangulaire pour ses poules. Il dispose pour cela d'un grillage de 20 m de long qu'il souhaite utiliser entièrement et cherche à déterminer les dimensions de l'enclos d'aire maximale.

La figure ci-dessous illustre cette situation, le grillage étant représenté en pointillés rouges.

On note `x` la largeur de l'enclos exprimée en mètres.

1. Expliquer pourquoi `x` est compris entre 0 et 10.

2. On note \(\mathcal{A}\) la fonction qui, à tout réel `x` compris entre 0 et 10, associe l'aire de l'enclos, exprimée en m \(^2\) .

    a. Démontrer que, pour tout réel `x` de l'intervalle \([0~;10]\) , \(\mathcal{A}(x)=-2x^2+20x\) .

    b. Déterminer les dimensions de l'enclos d'aire maximale.